Среднее и медиана: что скрывает одна цифра
Среднее арифметическое равно сумме значений, делённой на их количество. Медиана находится в середине упорядоченного набора. Эти показатели описывают центр по-разному и не заменяют сведения о разбросе и редких, но важных случаях.
Как посчитать оба показателя
В руководстве NIST среднее и медиана представлены как разные меры положения данных. Для нечётного количества наблюдений медиана — центральное значение после сортировки. Для чётного — среднее двух центральных. Сначала нужно привести наблюдения к одной единице измерения.
Учебные наблюдения ожидания автобуса: 8, 9, 10, 11, 12 минут. Сумма равна 50, среднее — 50 / 5 = 10 минут. Третье значение упорядоченного ряда — 10: это медиана. Для ряда 8, 9, 11, 12 медиана равна (9 + 11) / 2 = 10 минут, хотя такого отдельного наблюдения в нём нет.
Одинаковое среднее, разные поездки
| Условный набор, минуты | Среднее | Медиана | Минимум — максимум |
|---|---|---|---|
| А: 8, 9, 10, 11, 12 | 10 минут | 10 минут | 8–12 минут |
| Б: 1, 2, 3, 4, 40 | 10 минут | 3 минуты | 1–40 минут |
| А после замены 12 на 42: 8, 9, 10, 11, 42 | 16 минут | 10 минут | 8–42 минуты |
Таблицу можно прокрутить в сторону.
Почему одна цифра скрывает различие
Наборы А и Б имеют одинаковую сумму и среднее. Но в А все пять ожиданий близки, а в Б четыре коротких соседствуют с одним очень долгим. Выбор показателя зависит от вопроса: обычный опыт поездки и риск серьёзного опоздания требуют разного внимания. Маленькая учебная выборка не описывает реальный маршрут.
Замена 12 на 42 увеличивает среднее набора А с 10 до 16, а медиану оставляет равной 10. Из этого нельзя заключить, что 42 нужно удалить. Если наблюдение верное, оно может быть самым важным для человека, которому нельзя опоздать. Сначала проверьте запись и обстоятельства, затем показывайте результат с понятным описанием исключительного случая.
Какой вопрос вы задаёте данным
Где находится середина наблюдений?
Медиана помогает описать середину упорядоченного ряда. Она не сообщает, насколько длинными были ожидания за пределами этой середины.
Сколько времени накопилось в наблюдениях?
Среднее вместе с числом наблюдений позволяет восстановить их сумму. Но без распределения оно не показывает, был ли опыт устойчивым или резко различался.
Что добавить к средней величине
Количество и период
Пять поездок в выходной и сто поездок в будни могут описывать разные условия. Укажите, когда и как собирали значения.
Разброс
Хотя бы минимум и максимум помогают увидеть различие. Для большого набора могут потребоваться график распределения и другие показатели.
Правило исключений
Расскажите о пропусках и удалённых записях. Нельзя убирать длинное ожидание только потому, что оно портит привлекательное среднее.
Упражнение с ответом
Набор: 2, 3, 3, 4, 18 минут. Среднее: 30 / 5 = 6; медиана: 3. Фраза «обычно все ждут шесть минут» неверно описывает наблюдения: ни одного шестиминутного ожидания нет. Лучше привести оба показателя, диапазон 2–18 и оговорить малое число поездок.
Частые вопросы
Медиана всегда лучше среднего?
Нет. Они отвечают на разные вопросы. Медиана не устраняет необходимость видеть редкие длинные ожидания, а среднее не показывает форму распределения.
Медиана обязательно встречается в данных?
При нечётном количестве числовых наблюдений она совпадает с центральным значением. При чётном её вычисляют по двум центральным, и результат может не встречаться в наборе.
Одинаковое среднее означает одинаковые условия?
Нет. Наборы могут сильно различаться по разбросу, составу и способу сбора. Сравнивайте не только центр, но и контекст наблюдений.